Szkoła podstawowa nr 14 w Elblągu swój pierwszy rok szkolny rozpoczęła w budynku Szkoły Podstawowej nr 6 przy ulicy Czerniakowskiej 22, zaś do swojego gmachu przeniosła się miesiąc później – 1 października 1957 r. Jej kierownikiem został Kazimierz Jaworski. Liczba dzieci obejmowała wówczas 500 uczniów, którzy podjęli naukę w 14 oddziałach. Grono nauczycielskie liczyło 13 osób.
Ważnym wydarzeniem w życiu szkoły było nadanie jej imienia Jana Brzechwy oraz wręczenie sztandaru ufundowanego przez Komitet Rodzicielski. Uroczystość ta odbyła się 13 czerwca 1970 r.
W roku szkolnym 1990/1991, ze względu na rekordową w historii szkoły ilość uczniów (951), placówka otrzymała do dyspozycji budynek od Pomorskiego Okręgu Wojskowego przy ulicy Lotniczej 14. W budynku tym naukę podjęło w 18 oddziałach 405 dzieci z klas I–III. Natomiast uczniowie klas IV–VIII pozostali w gmachu macierzystym przy ulicy Mielczarskiego 45, który aktualnie jest jedynym obiektem, w którym uczą się wszyscy uczniowie Szkoły Podstawowej nr 14 w Elblągu.
Placówka jest jedyną szkołą w mieście i jego okolicach kształcącą dzieci z wadami słuchu i mowy. Od 1997 r. działają w niej klasy dla dzieci z tą niepełnosprawnością. Uczniowie uczący się w oddziałach specjalnych mają zapewnioną opiekę nauczycieli surdopedagogów i surdologopedę. Z tymi uczniami prowadzona jest indywidualna rewalidacja logopedyczna i pedagogiczna, zaś nauczanie odbywa się z wykorzystaniem nowoczesnych aparatów słuchowych i metody fonogestów (obrazowania mowy).
Szkoła posiada rękopis wiersza Jana Brzechwy pt. „Kolory”, który otrzymała od Janiny Brzechwy – żony Patrona placówki, która uświetniła swoją obecnością uroczystość nadania Szkole imienia jej męża w 1970 r.